Berechnung aus der Pendelzeit

Die Bestimmung des Massenträgheitsmoment aus der Pendelzeit mit dem Ansatz als physikalisches Pendel erlaubt eine zerstörungsfreie Messung. Der Dynamo muß dabei nicht zerlegt werden. Beim lightSPIN ist dies aufgrund der Leichtgängigkeit durch berührungslose Dichtungen und Kugellager möglich.

An dem Rotor (Massenträgheitsmoment $J_1$, Masse $m_1$) wird ein physikalisches Pendel bzw. Körperpendel ($J_2$, $m_2$) befestigt (vgl. Bild I.1).

Bild I.1: Pendel $J_2$

Sowohl bei einer Anfangsauslenkung von 20 wie 30$^{\circ}$ beträgt die gemessene Periodenzeit ($T$) ca. 0,78s (über 10 bzw. 17 Schwingungen gemittelt). Das Pendel ist ein 4mm dicker Holzstab ( $\varrho_{\mbox{\footnotesize Buche}}\approx$ 0,66...0,67kg/dm$^3$) mit der Masse $m_b$. Das Loch an einem Ende wird über die Masse $m_k$ berücksichtigt; mit diesem Loch wird der Holzstab auf dem Reibrad montiert. Das Massenträgheitsmoment $J_2$ und der Abstand des Flächenschwerpunkt von der Rotationsachse $y_2$ des Stabes berechnet sich als:

$$y_2 = \frac{\Sigma^i A_i y_i}{\Sigma^i A_i}-20=\frac{26,7\cdot 200\cdot 100-\frac{\pi}{4}25^2\cdot 20}{26,7\cdot 200-\frac{\pi}{4}25^2}-25=88,1\mbox{ mm}$$ (I.1)

$$m_2 = m_b-m_k=\varrho_{\mbox{\footnotesize Holz}}(V_b-V_k)=0,012-0,0011=0,0109\mbox{ kg}$$ (I.2)

$$J_2 = \frac{m_b(l^2+b^2)}{12}+m_b y_2^2-\frac{m_k r^2}{2}$$ (I.3)

$$= \frac{0,012(0,2^2+0,0267^2)}{12}+0,012\cdot 0,088^2-\frac{0,0011 \cdot 0,025^2}{2} =1,335\cdot 10^{-4}\mbox{ kgm}^2$$

Mit der Gleichung (I.7) für die Schwingungsdauer $T$ eines physikalischen Pendels bei kleinen Ausschlägen ergibt sich das Massenträgheitsmoment des Rotors:

$$J = J_1+J_2$$ (I.4)

$$m = m_1+m_2$$ (I.5)

$$s = \frac{m_1\cdot 0+m_2y_2}{m_1+m_2}$$ (I.6)

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{J}{mgs}}=2\pi\sqrt{\frac{J_1+J_2}{(m_1+m_2)g\frac{m_2y_2}{m_1+m_2}}}$$ (I.7)

$$J_1 = m_2gy_2\left(\frac{T}{2 \pi}\right)^2-J_2=0,0109\cdot 9,81\cdot 0... ...t(\frac{0,78}{2 \pi}\right)^2-1,335\cdot 10^{-4}=1,17\cdot 10^{-5}\mbox{ kgm}^2$$